國中數學必背公式

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數與比例

分數四則

ab ± cd = ad ± bcbd

ab × cd = acbd

ab ÷ cd = ab × dc

分母和除數都不能為 0。

指數律

aᵐ × aⁿ = a^m+n

aᵐ ÷ aⁿ = a^m−n

(aᵐ)ⁿ = a^mn

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ，a⁰ = 1

除法式取 m ≥ n。除法與零次方都要求 a ≠ 0。

公因數與公倍數

兩正整數的乘積 = 最大公因數 × 最小公倍數

比例、正比與反比

a : b = c : d ⇒ ad = bc

正比 y = kx，反比 xy = k（k ≠ 0）

百分率與折扣

百分率 = 部分全體 × 100%

售價 = 原價 × 折扣率

八折乘 0.8。

速率

路程 = 速率 × 時間

平均速率 = 總路程總時間

代數與根式

一次方程式與不等式

ax + b = c ⇒ x = c − ba（a ≠ 0）

不等式兩邊同乘或同除以負數，不等號要反向。

乘法公式

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

(a + b)(a − b) = a² − b²

十字交乘

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

兩個數的和等於一次項係數，積等於常數項。

平方根

√(a²) = |a|

√(ab) = √a × √b（a, b ≥ 0）

√(a ÷ b) = √a√b（a ≥ 0，b > 0）

√9 = 3，而 x² = 9 的解為 x = ±3。

二次方程式與判別式

ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）

Δ = b² − 4ac

x = −b ± √Δ2a（Δ ≥ 0）

Δ > 0 有兩相異實根，Δ = 0 有重根，Δ < 0 無實根。

數列與函數

等差數列

aₙ = a₁ + (n − 1)d

Sₙ = n(a₁ + aₙ)2

d 是公差，Sₙ 是前 n 項的和。

等比數列

aₙ = a₁rⁿ⁻¹

r 是公比。

二次函數

y = a(x − h)² + k 的頂點為 (h, k)，對稱軸為 x = h。

y = ax² + bx + c 的對稱軸為 x = −b2a。

a > 0 開口向上，a < 0 開口向下。例如 y = 2(x + 3)² − 4 的頂點是 (−3, −4)。

三角形與相似

畢氏定理

a² + b² = c²

用於直角三角形，c 是斜邊。

多邊形角度

n 邊形內角和 = (n − 2) × 180°

凸多邊形外角和 = 360°

三角形重心

頂點到重心 : 重心到對邊中點 = 2 : 1

兩段都在同一條中線上。

相似形的比例

對應邊長比 a : b ⇒ 周長比 a : b，面積比 a² : b²

平行線截比例線段

ADAB = AEAC = DEBC

在 △ABC 中，D、E 分別在 AB、AC 上，且 DE ∥ BC。

圓、面積與體積

圓周長與圓面積

圓周長 = 2πr

圓面積 = πr²

r 是半徑。

弧長與扇形面積

弧長 = 2πr × θ360°

扇形面積 = πr² × θ360°

θ 是所對的圓心角。

圓周角、切線與內接四邊形

圓周角 = 同弧所對圓心角的一半

直徑所對的圓周角 = 90°

圓內接四邊形的對角和 = 180°

通過切點的半徑與切線垂直。

常用平面面積

平行四邊形 = 底 × 高

三角形 = 底 × 高2

梯形 = （上底 + 下底）× 高2

柱體與錐體體積

柱體 = 底面積 × 高

錐體 = 底面積 × 高3

高是垂直高度。

統計與機率

平均數

平均數 = 資料總和資料筆數

有次數表時，資料總和由各數值乘上各自次數後加總。

全距與四分位距

全距 = 最大值 − 最小值

四分位距 = Q₃ − Q₁

機率

P(A) = 事件 A 的結果數所有可能結果數

P(A 不發生) = 1 − P(A)

用結果數相除時，各基本結果要等可能。